The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism
A Ham(M, 0) szimplektikus (M, 0) mani fold Ham(M, 0) Hamiltoni diffeomorfizmusainak csoportja alapvető szerepet játszik mind a geometriában, mind a klasszikus mechanikában. Egy geométer számára, legalábbis az M sokaságra vonatkozó bizonyos feltételezések mellett, ez nem más, mint az összes szimplektikus diffeomorfizmus csoportjában az azonosság összefüggő komponense.
A mechanika szempontjából a Ham(M, O) az összes megengedhető mozgás csoportja. Mekkora az a minimális energiamennyiség, amely egy adott I Hamiltoni diffeomorfizmus létrehozásához szükséges? E természetes kérdés formalizálására és megválaszolására tett kísérlet H. Hofer HI) (1990) figyelemre méltó felfedezéshez vezetett.
Kiderült, hogy ennek a variációs problémának a megoldása egy geometriai mennyiségként értelmezhető, nevezetesen az I és az azonossági transzformáció közötti távolságként. Ráadásul ez a távolság a Ham(M, 0)-on egy kanonikus biinvariáns metrikához kapcsolódik.
Hofer munkája óta ezt az új geometriát intenzíven tanulmányozzák a modern szimplektikus topológia keretében. Ebben a könyvben néhány ilyen fejleményt ismertetek.
Hofer geometriája lehetővé teszi számunkra, hogy a Hamiltoni diffeomorfizmusok csoportjának kontextusában tanulmányozzunk különböző fogalmakat és problémákat, amelyek az ismert véges dimenziós geometriából származnak. Ezekről kiderül, hogy nagyon különböznek a szimplektikus topológiában vizsgált problémák szokásos körétől, és így jelentősen kibővítik a szimplektikus világról alkotott képünket.
