Alapvető útmutató az evolúciós differenciálegyenletek egyediségi problémáihoz

Eredeti címe:

A Basic Guide to Uniqueness Problems for Evolutionary Differential Equations

Könyv tartalma:

Ez a könyv egy probléma megoldásának egyediségével foglalkozik - ez egy nagyon fontos téma a tudományban és a technikában, különösen a parciális differenciálegyenletek területén, ahol az egyediség garantálja, hogy bizonyos parciális differenciálegyenletek elegendőek egy adott jelenség modellezéséhez.

Ez a könyv rövid bevezetést kíván nyújtani a kezdeti értékproblémák egyediségi kérdéseibe. A megoldás fogalmát gyakran gyengítjük, hogy a nem differenciálható megoldások is szerepeljenek benne. Az ilyen megoldást gyenge megoldásnak nevezzük. Egy gyenge megoldást könnyebb megtalálni, de nehezebb megállapítani az egyediségét. Ez a könyv három nagyon alapvető egyenletet vizsgál: a közönséges differenciálegyenleteket, a skaláris megőrzési törvényeket és a Hamilton-Jacobi egyenleteket. A könyv a standard Gronwall-egyenlőtlenségből kiindulva tárgyalja a kevésbé szabályos közönséges differenciálegyenleteket. Olyan haladó témák bevezetését is tartalmazza, mint a maximális monoton operátorok elmélete, valamint az úgynevezett DiPerna-Lions-elmélet, amely még mindig aktív kutatási terület. A konzervációs törvények esetében az entrópia megoldás egyediségét, egy speciális (diszkontinuus) gyenge megoldást magyarázza. Hamilton-Jacobi egyenletekre számos egyediségi eredményt állapítanak meg egy viszkozitási megoldásra, egyfajta nem differenciálható gyenge megoldásra. A diszkontinuus viszkozitási megoldás egyediségét is tárgyaljuk. Minden egyes egyediségi állításra részletes bizonyítást adunk.

Az olvasótól elvárjuk, hogy az egyediség megállapításával megismerje a parciális differenciálegyenletek matematikai analízisének különböző alapvető gondolatait és technikáit. Az egyszerű számításon és a lineáris algebrán kívül más előfeltétel nem szükséges. Az olvasó könnyebbsége érdekében a könyv végén az alapvető terminusok listája található.