Értékelés:
A könyvet általánosságban jó fogadtatásban részesítették Hartshorne algebrai geometriáról szóló könyvének kísérőjeként, különösen a sémaelmélet áttekinthetősége és az aritmetikai alkalmazásokra való összpontosítása miatt dicsérték. Megjegyezték azonban, hogy néhány bizonyítás lehetne világosabb, és bizonyos fontos témákat nem tárgyal eléggé.
Előnyök:⬤ Kitűnő kiegészítője Hartshorne könyvének
⬤ világos és érthető magyarázatok
⬤ sok konkrét példa és ellenpélda
⬤ számtani elmékre szabott
⬤ jó alapot nyújt a sémaelméletben
⬤ olvasmányosabb, mint Hartshorne könyve
⬤ jelentős tartalom Shafarevich könyvéhez képest.
⬤ Néhány bizonyítás nem egyértelmű és ad hoc módon van bemutatva
⬤ bizonyos fontos témákat nem tárgyal eléggé
⬤ nem hivatkozik régebbi nyelvekre
⬤ a későbbi részek idézett kommutatív algebrai eredményekre támaszkodnak
⬤ egyes felhasználók azt javasolják, hogy az átfogó megértéshez kísérje Hartshorne vagy más munkákkal.
(6 olvasói vélemény alapján)
Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
Ez az új, papírkötésben megjelent kiadás általános bevezetést nyújt az algebrai és aritmetikai geometriába, kezdve a sémák elméletével, majd az aritmetikai felületekre és az algebrai görbék redukciójának elméletére vonatkozó alkalmazásokkal.
Az első rész olyan alapvető objektumokat mutat be, mint a sémák, morfizmusok, bázisváltás, lokális tulajdonságok (normalitás, regularitás, Zariski főtétele). Ezt követi a globálisabb aspektus: koherens nyalábok és egy végességtétel kohomológiacsoportjaikra. Ezután következik egy fejezet a differenciálhullámokról, a dualizáló hullámokról és Grothendieck dualitáselméletéről. Az első rész Riemann-Roch tételével és annak alkalmazásával zárul a sima vetületi görbék vizsgálatára egy mező felett. A szinguláris görbéket a Picard-csoport részletes tanulmányozásán keresztül kezeljük.
A második rész a Dedekind-gyűrű feletti szálas felületek felfúvásával és desingularizációjával (beágyazott vagy nem beágyazott) kezdődik, ami elvezet az aritmetikai felületek metszéspontelméletéhez. Bizonyításra kerül a Castelnuovo-kritérium, valamint a minimális szabályos modell létezése. Ez elvezet az algebrai görbék redukciójának vizsgálatához. Az elliptikus görbék esetét részletesen tanulmányozzuk. A könyv Deligne-Mumford stabil redukcióra vonatkozó alaptételével zárul.
A könyv lényegében önálló, beleértve a kommutatív algebra szükséges anyagát is. Kevés az előfeltétel, és mivel számos példát és mintegy 600 feladatot tartalmaz, a könyv ideális a végzős hallgatók számára.