Az operátorok spektrális elmélete a Hilbert-térben

Eredeti címe:

Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space

Könyv tartalma:

A jelen előadások célja, hogy bevezetést nyújtsanak az önösszekötő operátorok spektrális analízisébe a Hilbert-térelmélet keretein belül. A megközelítés vezérgondolata a spektrális reprezentáció.

Ugyanakkor hangsúlyt kap az operátor függvényének fogalma. A Hilbert-tér definíciója: A matematikában a Hilbert-tér egy valós vagy komplex vektortér, pozitív-definit Hermit-féle formával, amely teljes a normája alatt. Így ez egy belső termék tér, ami azt jelenti, hogy rendelkezik a távolság és a szög fogalmával (különösen az ortogonalitás vagy merőlegesség fogalmával).

A teljesség követelménye biztosítja, hogy a végtelen dimenziós Hilbert-tér esetében a határok a várt időben létezzenek, ami megkönnyíti a számtan különböző definícióit. A Hilbert-tér tipikus példája a négyzetesen összegezhető sorozatok tere.

A Hilbert-tér lehetővé teszi, hogy az olyan egyszerű geometriai fogalmakat, mint a vetítés és a bázisváltás, végtelen dimenziós terekre, például függvényterekre is alkalmazzuk. Olyan kontextust biztosítanak, amellyel formalizálhatók és általánosíthatók a Fourier-sorozat fogalmai tetszőleges ortogonális polinomok és a Fourier-transzformáció szempontjából, amelyek a funkcionálanalízis központi fogalmai.

A Hilbert-terek döntő jelentőségűek a kvantummechanika matematikai megfogalmazásában.