Bevezetés a sztochasztikus folyamatokba

Eredeti címe:

Introduction to Stochastic Processes

Könyv tartalma:

A könyv célja, hogy meglehetősen tömören bemutassa a sztochasztikus folyamatok elemeit, ahol a két legfontosabb részt - a Markov-láncokat és a sztochasztikus analízist - mutatjuk be. Az olvasókat közvetlenül az összefüggésekben tárgyalandó fő témák magjához vezetjük.

A további részleteket és kiegészítő anyagokat a további olvasáshoz és tanuláshoz bőséges feladatokat tartalmazó részre hagyjuk. A Markov-láncokról szóló részben a hangsúly az ergodicitáson van. A minimális nemnegatív megoldás módszerének alkalmazásával foglalkozunk a rekurzióval és az ergodicitás különböző típusaival.

Ezt lépésről lépésre végezzük, a véges állapotterektől a megszámlálható állapotterekig, illetve a diszkrét időtől a folytonos időig.

A bizonyítási módszerek modern technikákat alkalmaznak, például a csatolási és a dualitási módszereket. Néhány nagyon új eredmény is szerepel, mint például a spektrális rés becslése.

Az első rész felépítése és bizonyításai meglehetősen eltérnek a Markov-láncokról szóló többi létező tankönyvtől. A sztochasztikus analízisről szóló részben a martingál-elméletet és a Brown-mozgásokat, a sztochasztikus integrálokat és a sztochasztikus differenciálegyenleteket tárgyaljuk, egy dimenzióra helyezve a hangsúlyt, valamint a többdimenziós sztochasztikus integrálokat és a félmartingálokon alapuló sztochasztikus egyenleteket. Itt három fontos témát mutatunk be: a Feynman-Kac-formulát, a véletlen idő transzformációt és a Girsanov-transzformációt.

A klasszikus matematikában a valószínűségelmélet alapvető alkalmazásaként a konvex geometriában a híres Brunn-Minkowski egyenlőtlenséggel is foglalkozunk. A könyvben a modern valószínűségelméletet is bemutatjuk, amelyet különböző területeken, például az MCMC-ben, vagy akár a determinisztikus területeken: a konvex geometriában és a számelméletben használnak. Új és közvetlen rutint nyújt a hallgatók számára, akik a klasszikus Markov-láncokon keresztül jutnak el a modern sztochasztikus analízisig.