Residuated Lattices: Egy algebrai pillantás a szubstrukturalista logikára: 151. kötet

Olvasói vélemények

Jelenleg nincsenek olvasói vélemények. Az értékelés 2 olvasói szavazat alapján történt.

Eredeti címe:

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Könyv tartalma:

A könyv két célt szolgál. Az első és legnyilvánvalóbb az, hogy bemutassa a szubstrukturalista logikákhoz kapcsolódó reziduális struktúrák algebrai kutatásának legfrissebb eredményeit. A második, kevésbé nyilvánvaló, de ugyanilyen fontos célja, hogy meglehetősen szelíd bevezetést nyújtson az algebrai logikába. Kezdetben a második célkitűzés dominál. Így az első néhány fejezetben az olvasó talál egy alapozót az univerzális algebráról a logikusok számára, egy gyorstalpalót a nem-klasszikus logikából az algebrai szakemberek számára, bevezetést a reziduális struktúrákba, a Gentzen-féle kalkulusok vázlatát, valamint néhány ízelítőt a bizonyításelméletből - köztük a híres Hauptsatz, vagyis a vágáselszámolási tétel. Ezek természetesen elvezetnek a logika és az algebra közötti összefüggések tárgyalásához, ahol megpróbáljuk bemutatni, hogy ezek hogyan alkotják egy érem két oldalát. Elképzeléseink szerint a kezdeti fejezetek egy graduális kurzus tankönyveként is felhasználhatók lennének, talán Algebra és szubstrukturalista logika címmel.

A könyv előrehaladtával az első cél egyre inkább felülkerekedik a másodikon. Bár az egyensúly pontos pontját nehéz lenne meghatározni, az biztos, hogy a technikai részbe a reziduális szerkezetek különböző kiteljesedéseinek tárgyalásával lépünk be. Ezek közé tartoznak a Dedekind-McNeille-kiegészítések és a kanonikus kiterjesztések. A kiegészítéseket később több végességtulajdonság vizsgálatánál használjuk, mint például a véges modell tulajdonság, a fajták generálása véges tagjaik által és a véges beágyazhatóság. A vágáselkülönítés algebrai elemzése, amely a továbbiakban következik, szintén a kiegészítésekre támaszkodik. Logikák, egyenlet- és kvázi-egyenletelméletek eldönthetősége következik, ahol megmutatjuk, hogy a bizonyításelméleti módszerek, mint a vágáselimináció, kis logikák/elméletek esetében előnyösebbek, de a szemantikai eszközök, mint a Rabin-tétel, jobban működnek a nagy logikák esetében. Ezután rátérünk Glivenko tételére, amely szerint egy formula akkor és csak akkor intuitív tautológia, ha a kettős negációja klasszikus. Ezt általánosítjuk szubstruktúrális környezetre, minden szubstruktúrális logikára azonosítva annak Glivenko-egyenértékűségi osztályát a legkisebb és legnagyobb elemmel. Itt kezdjük el a logikák és fajták rácsainak vizsgálatát is, nem pedig a konkrét példákét. Ebben az irányban folytatjuk a minimális fajtákra/maximális logikákra vonatkozó eredmények bemutatásával.

Egy tipikus tétel azt mondja ki, hogy egy adott jól ismert sokféleségre vonatkozóan a sokféleség-rácsnak pontosan ilyen és ilyen számú minimális tagja van (ahol az ilyen és ilyen értékek közé tartozik, de nem kizárólagosan, a folytonosság, a megszámlálhatóan sok és a kettő). Az utolsó két fejezetben a kontrakció nélküli logikáknak megfelelő fajták rácsára koncentrálunk. Az egyikben egy negatív eredményt bizonyítunk: azt, hogy az adott változatban nincsenek nemtriviális osztások. A másikban egy pozitív eredményt bizonyítunk: azt, hogy a félegyszerű fajták egybeesnek a diszkriminatív fajtákkal.

A könyv második, technikai jellegű részében egy másik átmeneti folyamat is nyomon követhető. Nevezetesen, hogy logikai hajlamú szakirodalommal kezdünk, és algebrai hajlamú szakirodalommal végzünk. Itt talán a Glivenko-tételek algebrai visszaadása jelzi az egyensúlyi pontot, legalábbis abban az értelemben, hogy a végességi tulajdonságok, a dönthetőség és a Glivenko-tételek egyértelműen a logikusokat érdeklik, míg a félimplicitás és a diszkriminátorok fajtái par exellence univerzális algebra. Az olvasó dolga megítélni, hogy sikerült-e ezeket a szálakat varratmentes szövetté szőni.