Ez a könyv a környezeti metrika elméletét fejleszti és alkalmazza a konformális geometriában. Ez egy Lorentz-metrika n + 2 dimenzióban, amely a metrikák egy konformális osztályát kódolja n dimenzióban.
Az ambiens metrika egy alternatív inkarnációja a Poincare-metrika, egy n + 1 dimenziós metrika, amelynek konformális végtelenje a konformális sokaság. Ebben a megvalósításban a konstrukció központi szerepet játszott a fizikában az AdS/CFT megfeleltetésben. A környezeti metrika létezését és egyediségét a formális hatványsorok szintjén részletesen tárgyaljuk.
Ez magában foglalja a környezeti akadályozó tenzor levezetését és a konformálisan sík és konformálisan Einstein terek speciális eseteinek explicit elemzését. Bevezetésre kerülnek a Poincare-metrikák, amelyekről megmutatjuk, hogy egyenértékűek az ambient formulával.
Speciális esetként négy dimenzióban az önduális Poincare-metrikákat vizsgáljuk, ami LeBrun eredetileg twistor-módszerekkel bizonyított gallérkörnyék-tételének formális hatványsoros bizonyításához vezet. A konformális görbületi tenzorokat bevezetjük és alapvető tulajdonságaikat megállapítjuk.
A konformális geometriára vonatkozóan megállapításra kerül egy sugárizomorfizmus-tétel, amelynek eredményeképpen a konformális struktúrák sugárterét egy ponton a konformális görbületi tenzorok segítségével ábrázolhatjuk. A könyv a skaláris konformális invariánsok konstrukciójával és jellemzésével zárul a környezeti görbület szempontjából, a parabolikus invariánselmélet eredményeinek alkalmazásával.
