Véletlen mátrixok és nem-kommutatív valószínűségszámítás

Eredeti címe:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Könyv tartalma:

Ez egy bevezető könyv a nem-kommutatív valószínűségről vagy szabad valószínűségről és a nagy dimenziós véletlen mátrixokról. A szabad valószínűség alapfogalmait a klasszikus valószínűséggel analóg módon, világosan és gyorsan mutatja be. Ezután a nagydimenziós véletlen mátrixok konvergenciájára vonatkozó eredményeket fejti ki, különös tekintettel a szabad valószínűséggel való érdekes összefüggésekre. A könyv nagyrészt szinte semmilyen előképzettséget nem feltételez. A valószínűségszámítás alapvető konvergenciafogalmainak ismerete és egy kis matematikai érettség azonban hasznos lesz.

⬤ A nem kereszteződő partíciók kombinatorikai tulajdonságai, köztük az Mbius-függvény központi szerepet játszanak a szabad valószínűség bevezetésében.

⬤ A szabad függetlenséget a szabad kumulánsokon keresztül definiáljuk, analóg módon azzal, ahogyan a klasszikus függetlenséget a klasszikus kumulánsokon keresztül definiálhatjuk.

⬤ A szabad kumulánsokat az Mbius-függvényen keresztül vezetjük be.

⬤ A szabad termék valószínűségi tereket szabad kumulánsok segítségével konstruáljuk.

⬤ Tárgyaljuk a nagydimenziós véletlen mátrixok, mint például a Wigner-, az elliptikus, a mintakovariancia-, a keresztkovariancia-, a Toeplitz-, a Circulant- és a Hankel-mátrixok marginális és közös traciális konvergenciáját.

⬤ Az empirikus spektrális eloszlás konvergenciáját szimmetrikus mátrixok esetén tárgyaljuk.

⬤ Aszimptotikus szabadossági eredmények véletlen mátrixokra, beleértve néhány újabb eredményt is, részletesen tárgyalásra kerülnek. Ezek tisztázzák a véletlen mátrixok együttes konvergenciájára vonatkozó határértékek szerkezetét.

⬤ A független mintájú kovarianciamátrixok aszimptotikus szabadosságát is demonstráljuk a Wigner-mátrixokba való beágyazáson keresztül.

⬤ Minden fejezetben felsőfokú és egyetemi szintű gyakorlatok szerepelnek.