Az absztrakt elemi osztályok osztályozáselmélete: 2. kötet

Eredeti címe:

Classification Theory for Abstract Elementary Classes: Volume 2

Könyv tartalma:

Az absztrakt elemi osztály (AEC) egy rögzített szókincsű struktúrák osztálya, amely kielégít néhány természetes zártsági tulajdonságot. Ezek az osztályok magukban foglalják a modellelméletben definiált normálosztályokat, és természetes példák merülnek fel a matematikai gyakorlatban, pl.

az algebrában, nem beszélve az elsőrendű és az infinitárius logikákról. Egy AEC mindig rendelkezik egy speciális alstruktúra relációval, amely nem mindig a nyilvánvaló. Az absztrakt elemi osztályok nyújtanak egy kiutat az infinitárius nyelvek modellelméletének zsákutcájából, amely a szintaktikai kritériumokra való túlzott koncentrálásból adódott.

Ez az absztrakt elemi osztályokról szóló kétkötetes monográfia második kötete. A kötet meglehetősen önálló, és három különálló témával foglalkozik. Az első az univerzális osztályok témája, vagyis olyan rögzített szókincsű struktúrák osztályai, amelyeknél egy struktúra akkor és csak akkor tartozik az osztályba, ha minden véges generált alstruktúra tartozik.

Ezután a modellek számára vonatkozó feltételezésből levezetjük egy (majdnem) jó keret létezését. A keret fogalma az elsőrendű szuperstabilitás fogalmának természetes általánosítása erre a kontextusra. A feltételezés szerint a gyenge GCH egy kardinális $\lambda$, annak utódja és kettős utódja esetén érvényes, és az osztály az első kettőben kategorikus, a harmadikban pedig a modellek számának egy köztes értéke van.

Különösen ebből az érvből következtethetünk egy modell létezésére a következő kardinálisban. Végül foglalkozunk a téma nem-struktúrális részével, vagyis azzal, hogy sok nem-izomorf modellt kapunk a $ \lambda$ kettős utódjában releváns feltételezések mellett, foglalkozunk magukkal a majdnem jó keretekkel és néhány releváns halmazelmélettel is.